美国高中女生因数学竞赛，发现勾股定理新证明！论文已发美国数学月刊

两年前，两位高中在读的学生发现了全新的勾股定理证明方法。

遗憾的是，当时并没有更具体的论文，以提供实质性细节。

就在最近，两人的全新论文，在美国数学月刊上正式发表了！

论文地址：..#abstract

在这篇论文中，两位作者找到了至少五个证明，与任何标准的已知证明都没有明显的相似。

陶哲轩对这项工作称赞不已。

他表示，怎样精确定义两个证明是否相同，是很微妙的。

以往的数学家证明勾股定理，用的多是代数或几何的方法。

然而这两个学生，却采用了一种三角学的方法。作为数学的一个分支，三角学主要研究的是三角形的变长和角度之间的关系，尤其是直角三角形。

具体来说，她们采用了一种主要基于句法的方法：在她们看来，如果一个证明避免使用圆或坐标，但本质上使用角度，就可以被视为三角学证明。

就这样，她们找到了至少5个不同的证明，比如其中一个证明就涉及几何级数求和。

Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson

所以，是否存在语义方式，来区别这些证明呢？

陶哲轩表示，理论上这种方式应该是存在的，因为在某些欧几里得几何的变种中，或许本文中的证明有的有效，有的无效，反之亦然。

但即使有没有这种语义方式做区分，两位学生的研究仍然非常引人入胜。

因为——即使是数学中最古老、最基础的结果，有时也可以找到全新的证明角度！

古老的勾股定理

勾股定理亦称毕达哥拉斯定理是平面几何中一个基本而重要的定理，也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一：

平面上的直角三角形的两条直角边的长度较短直角边为勾长、较长直角边为股长的平方和等于斜边长弦长的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形直角所对的边是第三边。

勾股定理可考的严谨数学证明，起源于欧几里得几何原本中卷一的命题47。

如今，已经有了四百多个证明，诸如微分证明、面积证明等。

一道高中竞赛题，500美元奖金

有趣的是，这项震惊数学圈的证明，催化剂竟是一道高中数学竞赛的附加题。

这道题要求找出一种全新的勾股定理证明方法真是一个敢想，一个敢做

因为有500美元奖金，两位学生决定尝试一把。

结果两人发现，这比想象的要困难得多……

她们度过了很多个不眠之夜，尝试找到一个证明，却屡屡失败。

好在经过一个月的脑力大爆炸后，两人都找出了新的解法。

她们高中的数学志愿者Rich认为，她们的证明足够新颖，足以在数学会议上展示，因为通常只有专业数学家和大学生才会受邀。

她们开始并没有信心，但还是决定参与。就是这时两人开始展开合作。

接下来的两三个月，两人把课后、周末、假期的所有时间都用来打造这篇论文。

令人惊讶的是，两位高中生的作品得到了认真对待，并被批准在2023年3月的美国数学学会东南分会会议上展示——于是两人成为房间里最年轻的演讲者。

随后，AMS鼓励两人把研究成果提交到学术期刊。

两人从没有为学术期刊写论文的经验，同时还在适应大学环境，需要应付小组论文、实验室数据分析、学习用LaTeX写代码等等任务。

两人表示，在家人和社区的支持下，我们坚持了下来，这段路途绝对不是简单的。

没有现成的路线图，没人保证论文一定能发表。

有很多次，她们都想放弃这件事，好在最终，两人坚持了下来。

令人困惑的三角学

而在这次发表的研究中，两位学生介绍道：在数学中，或许没有哪个学科比三角学更让高中生感到困惑了。

三角学为什么如此令人困惑？或许一个原因是，存在两种不同的方法来定义相同的三角学术语。

图1倒是展示了这些方法是如何被协调的，但结果却适得其反——

学生们或许不会意识到，这两个互不相同的三角学体系，已经被套在了相同的术语上，所以理解起来极其困难。

图1：被作者称为数学中危害最大的图

两位作者表示，避免混淆最合理的方法，就是给它们不同的名称，来反映背后不同的理念。

实际上，这些方法中只有一种是三角学的，专注于这个真正的版本，就可以发现大量全新的勾股定理证明！

何为三角函数证明

trigonometry这个词来源于希腊词trigonon三角形和metron测量，因此三角函数是通过测量三角形而得到的。

实际上，三角比中的正弦sine和余弦cosine定义为锐角��的函数，其方法是创建一个直角三角形ABC，使得��为其中一个锐角如图2左侧所示，然后比较三边中两条边的长度关系。

sin��被定义为对边BC与斜边AB的比值，cos��则是邻边AC与斜边AB的比值。

图2：正弦和余弦的三角函数和圆周定义

然而，这种正弦和余弦的定义法仅适用于锐角，其他角度则需要完全不同的方法。

对于这些角度，就要使用单位圆，从点1，0开始，逆时针方向对于负角则顺时针沿圆周移动，直到达到所需的中心角��，最终到达点��，��，然后定义cos��=��和sin��=��。

对于锐角来说，这来年各种方法得出的值是相同的，如图1所示。

然而，只有第一种方法可以被合理地称作三角学，第二种方法更适宜被叫做圆周法，源自希腊词circle和location。图2

它们的区别，意味着通过余弦定律证明毕达哥拉斯定理我们从��²=��²+��²−2����u2009cosu2009��开始，并令��为直角是圆周证明而不是三角证明：因为三角学无法计算直角的余弦，而圆周测量告诉我们cos90°=0。

同样地，使用cos��−��公式证明毕达哥拉斯定理在恒等式cos��−��=u2009cosu2009��u2009cosu2009��+u2009sinu2009��u2009sinu2009��中，令��=��也是圆周法而非三角学，使用sin��+��公式的证明亦然，其中��和��为互余角。

另外，某个证明是否属于三角学，也可以因其他原因被否认。

例如，如图3所示，毕达哥拉斯定理的最著名的证明之一，就使用了相似三角形△������∼△������∼△������：由于��/��=��/��和��/��=��/��，所以��=��+��=��²/��+��²/��，因此��²+��²=��²。

图3：通过相似三角形的证明

但这个证明很容易被改写为三角学。

由于��/��=��/��=u2009sinu2009��，因此有��=��u2009sinu2009��=��u2009sinu2009��u2009sinu2009��=��u2009sin²u2009��，同样地，��=��u2009cos²u2009��。

然后��=��+��=��u2009sin²u2009��+u2009cos²u2009��，由此得1=u2009sin²u2009��+u2009cos²u2009��=��/��²+��/��²，因此��²+��²=��²。

但是，在这里使用三角术语并没有增加任何实质内容——实际上只是复杂化了对同一方法的简单视角，因此可以说，这个证明使用了相似三角形而不是三角学。

更一般地，任何证明��²+��²=��²的方法，都可以通过��u2009sinu2009��为a和��u2009cosu2009��为b或通过将边长a， b和c重新缩放为u2009sinu2009��， u2009cosu2009��和1来重新表述为三角证明：首先证明u2009sin²u2009��+u2009cos²u2009��=1，然后通过反向替换u2009sinu2009��=��/��和u2009cosu2009��=��/��来证明��²+��²=��²。

这种现象表明，这种迂回的毕达哥拉斯定理的三角证明值得被怀疑即首先证明恒等式u2009sin²u2009��+u2009cos²u2009��=1，不然，三角学就仅仅是用正弦和余弦对边长的重复叙述罢了。

两位作者表示，事实上，她们也不知道如何在毕达哥拉斯定理的三角证明和非三角证明之间划清界限。

但根据设定的标准，就可以有一个起点，按照这个标准，两个毕达哥拉斯定理的证明可以算作三角函数的证明。

第一个证明来自J. Zimba，使用了复角公式的代数性质，证明了对任意锐角��，都有u2009sinu2009²�� + cos²�� = 1。

另一个证明来自N. Luzia，他使用了复角公式和半角公式，证明了对于任意锐角��，都有u2009sin²��/2 + cos²��/2 = 1。

注意，当角度��/2为45°时，Luzia的方法在等腰直角三角形上不成立，但在45°��/290°时有效，因为此时sin²��/2 + cos²��/2 = cos²90°−��/2 + sin²90°−��/2 = 1。

勾股定理的五个新证明

至此，两位学生就证明了对于等腰直角三角形的勾股定理，由此开始了勾股定理的五个新证明。

在以下五个证明中的前四个中，她们假设ABC是一个非等腰直角三角形，其中����，或者��45°��。

每个证明都从一个直角三角形的图形开始。

证明1

证明2

证明3

证明4

证明5

在任何创造性活动中，一个基本问题是：我能用现有的东西创造出什么？

在勾股定理中，这个问题就变成了：我能用给定的直角三角形ABC，创造出什么样的直角三角形？

为此，作者将新三角形的创建限制在一个条件下：其角度是△������的三个角��、��和90°=��+��的整数和/或差。

这样一来，问题的答案就简单了。

引理1：

如果ABC是一个等腰直角三角形��=��=45，那么唯一的角度为��和��的整数线性组合的三角形是等腰直角三角形。

在直角三角形ABC中，如果�� ��，则存在一个直角三角形，其锐角为2u2062��和��−��。此外，2u2062��和��−��是��和��的唯一整数线性组合，它们将形成每对��，��的直角三角形的锐角。

证明：

a. 由于等腰直角三角形ABC的所有角度都是45的倍数，因此任何新三角形其角度限制为△������的角度的和/或差的所有角度仍然是45的倍数，因此这个三角形必须是等腰直角三角形。

换句话说，如果我们从一个等腰直角三角形开始，不可能创造出一个新三角形。

b. 现在假设�� ��。

如果新构建的直角三角形的一个锐角为���� + ������，��∈ℤ，那么它的补角为90 – ���� + ���� =��+��–���� + ���� = 1−��u2062�� + 1−��u2062��。

如果整数n和1−��都不为零，且其中一个比如n是负的，那么用⏧��⏧替换n，我们看到其中一个角度为���� – ����，其中mn0。

但是当��为90u2062��/��+��度时，它的补角��为90u2062��/��+��，这种构造给我们一个角度为���� – ���� = ��u206290u2062��/��+�� – ��u206290u2062��/��+��=0的三角形。

这种不可能性表明必须有��=0，因此其中一个锐角测量为����，对于某个��∈ℕ。

如果��=1，那么我们简单地恢复了原来的三角形ABC。

如果��=2，那么我们得到一个新的直角三角形，其锐角测量为2u2062��和�� – ��。注意2u2062��90，因为��45。

最后，我们看到��≥3是不可能的，因为如果30≤��45，则不存在这样的三角形。

这项引理准确地指引我们寻找勾股定理的证明对于非等腰直角三角形：从原来的三角形ABC开始，我们尝试以尽可能多的方式创造一个新的直角三角形，其角度为2��，�� – ��和90度。

例如，创造一个2��角的显而易见的方法是将两个△������结合在一起，如图13所示。

图13：创造一个2u2062��角

这样就创建了一个等腰三角形������′，其角度分别为2��、��和��，因此下一步是将其中一个��角转化为�� – ��或90度图13。

为了在顶点��′形成一个90度的角，我们构造了一条与��u2062��′成��角的射线。延长边AB至与射线在点D相交，就得到了第一个证明的图形图14。

图14：创建第一个证明

或者，如果我们在斜边AB的另一侧构造一个2u2062��角，并延长BC至与新射线在点D相交，如下所示，就得到了直接指向第二个证明的图形图15。

图15：创建第二个证明

这种简单的方法产生了多个新的证明，其中五个如上图所示，而另外五个或者更多证明方法，可以留待读者去发现。

参考资料：

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本文来源：新智元